线性代数之行列式总结 - 地球孤鹰记事

一、二三阶行列式

行列式分为：二、三阶行列式和 n阶行列式（不包含二三阶），因为二三阶和n阶的计算方式有一定的不同。
二阶行列式是指 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$
计算方程：a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂ 主对角线减去副对角线；最终结果是一个数。
以下所有行列式通用：
其中 a_ij （i=1,2;j=1,2.）称为上方行列式的元素或者元。
元素 a_ij 的
第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，
第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列；
位于第i行第j列的元素称为上面行列式的(i,j)元。
三阶行列式是指 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$
计算方程：(a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂)-(a₁₃a₂₂a₃₁+a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₁a₂₃a₃₂)
----------------主对角线---------------- ----------------副对角线----------------
可以简化为：a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)+a₁₂(a₂₃a₃₁-a₂₁a₃₃)+a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁)
这种计算方程展开方式只能用于三阶及以下的行列式，也就是二、三阶的行列式。

二、全排列及其逆序数

全排列的定义
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(也简称排列)。
逆序数的定义
  ①. 逆序
       设 i,j∈N ，且 i≠j ，若 i>j 称 (i,j) 为逆序。
  ②. 逆序数
       设i₁,i₂,...,i_n为1,2,...,n的一个排列，其所含的逆序个数总和称为该排列的逆序数，记为τ(i₁,i₂,...,i_n)。
  ③. 奇偶排列
       逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
       一个逆序数如果对调其中任意两数那么其的奇偶性就会发生改变。

三、n阶行列式的定义

定义
设：有n²个数，排成n行n列的数表
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n ，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，由于这样的排列共有n!个，
... ... ... ...
a_n1 a_n2 ... a_nn
所有这n!项的代数和 $\sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}$
为n阶行列式记作 $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ ，简称作 det(a_ij)，其中数a_ij为行列式D的(i,j)元。
n阶行列式D定义为
$D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} {(- 1)}^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} \cdot a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$
例题：
    例一：
     主对角线行列式
       $| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix} | = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$
       只有主对角线有值其余都为零，那么行列式的值为主对角线的乘积。
     副对角线行列式
       $| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$
        $1 + 2 + 3 + . . . . + (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2}$ 这是一个等差数列。
    例二：
       $| \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} & a_{22} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋱ & ⋮ \\ a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{12} \dots a_{n n}$
        主对角线及其上三角、下三角行列式都等于主对角线的行列式结果。
        副对角线及其上三角、下三角行列式都等于副对角线的行列式结果。
行列式的性质
  ⑴行列式与它的转置行列式相等[转置行列式的意思就是行与列置换；行变列，列变行]。
       $| A^{T} | = | A |$
  ⑵互换(对调)行列式的两行(列)，行列式最终值变号(就是正负号)[也可以说变为相反数]。
  ⑶行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k(有公因子)，等于用数k乘以此行列式(则可提取到前面)。
      推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
      推论2 行列式某行(列)元素全为零，则行列式结果为零。
      推论3 行列式两行(或两列)元素相同则行列式为零。
      推论4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
  ⑷若行列式的某列(行)的元素都是两数之和，则行列式可拆成两个行列式之和。
       $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i} + a_{1 i}^{'} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} + a_{2 i}^{'} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i} + a_{n i}^{'} & \dots a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i} & \dots a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i}^{'} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i}^{'} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i}^{'} & \dots a_{n n} \end{matrix} |$
  ⑸行列式某列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
    [行列式某行(列)的倍数加到另一行(列)，则行列式不变。]
    主对角线都为同一元素a，其余元素都相同b(非主对角线元素)的行列式，简化值为 $[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}$
行列式按行(列)展开
  ⑴ 代数余子式的定义
    在n阶行列式中，把(i,j)元a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a_ij的余子式，记作M_ij；而 $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ , A_ij叫做(i,j)元a_ij的代数余子式。
  ⑵ 行列式按行(列)展开方式
    ① 如果下标的行列加起来是偶数，那么任何元素的余子式和代数余子式都是相等的；
    ② 如果下标的行列加起来是奇数，那么任何元素的余子式和代数余子式都是相反的。
    ③ (i,j)元的值与代数余子式的值相乘，然后同一行的再相加，其值等于行列式的值。
    ④ 定理：任何行列式其某一行的元素与其代数余子式的值相乘，然后相加其值等于行列式的值。
      (③ 和 ④ 貌似是相同的一句话...只是说法不同。)
        按行： $a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = D (i = 1, 2, \dots, n)$
        按列： $a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} = D (j = 1, 2, \dots, n)$
    ⑤ 推论：如果某一行的元素与其他行的代数余子式的值相乘后相加其值等于零。
        按行： $a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n} = 0 (i \neq j)$
        按列： $a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{n i} A_{n j} = 0 (i \neq j)$
  ⑶ 例1. 用展开定理求行列式的值
        展开前某一行(列)中只保留一个数字其余都简化为0；然后再使用展开定理，这样做所需做的运算量会大大减少；
        如果用一二四行简化大概率会出现分数，而第三行各数是成倍数关系的，可以用来进行化简；
        第一列减去两倍的第三列，第四列加上第三列，第一列和第四列第三个数都能变成零；那么第三行只剩一个数，可以用a₃₃来进行展开或者说简化；
$这一步的结果为 | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & - 1 & 2 \\ - 11 & 1 & 3 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & - 1 & 1 \\ - 11 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 5 & - 5 & 3 & 0 \end{matrix} | = 1 * (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} |$
        因为a₃₃ = 1 且 3+3=6 是偶数，所以最后a₃₃A₃₃结果为： $| \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} |$
        再次消除并展开，即可计算最终结果： $= | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 6 & 2 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} | = 1 * (- 1)^{1 + 3} = | \begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 5 & - 5 \end{matrix} | = 40$

  ⑷ 例2. $D = | \begin{matrix} 3 & - 5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} |$ ，D的(i,j)元的余子式和代数余子式以此记作M_ij和A_ij，求 A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄ 及 M₁₁+M₂₁+M₃₁+M₄₁ 。
        A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄都是第一行，求第一行的代数余子式的和，可以将这一行元素都改变为代数余子式的系数，即：
         $D^{'} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & - 6 \\ - 1 & 4 & 5 & 4 \\ 2 & - 6 & - 3 & - 5 \end{matrix} |$
        将其与Aij元素简化掉后，这已经是第一行代数余子式和的数列了，然后求这四个代数余子式和的值。
$A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} = | \begin{matrix} 0 & - 1 & - 6 \\ 4 & 2 & 4 \\ - 6 & - 3 & - 5 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 4 & 2 & - 8 \\ - 6 & - 3 & 13 \end{matrix} | = - 1 * (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 4 & - 8 \\ - 6 & 13 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 4 & - 8 \\ - 6 & 13 \end{matrix} | = 4$
        先将余子式M_ij转化为代数余子式A_ij：
$M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41} = (- 1)^{1 + 1} A_{11} + (- 1)^{2 + 1} A_{21} + (- 1)^{3 + 1} A_{31} + (- 1)^{4 + 1} A_{41} = A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41}$
        都是第一行，求第一行的代数余子式的和，可以将这一行元素都改变为代数余子式的系数，即：
$D^{'} = | \begin{matrix} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ - 1 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ 0 & - 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 8 & - 1 & 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 2 \end{matrix} |$
        以此可得如下计算：
$A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41} = | \begin{matrix} - 4 & 2 & - 4 \\ 8 & - 1 & 2 \\ - 9 & 1 & - 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 14 & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | = 0$
        最后此例可得：
        A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄  =4
        M₁₁+M₂₁+M₃₁+M₄₁=0
  克拉默法则
    ⑴克拉默法则定义
        含有n个未知数x₁,x₂,x₃,...x_n的n个线性方程点的方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n}, \end{cases}$ ；与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示。
        如果线性方程组的系数行列式不等于零，即： $D = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \neq 0$
        那么方程组有唯一解 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, . . ., x_{n} = \frac{D_{n}}{D}$ ，其中D_j(j=1,2,...,n)是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
         $D_{j} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & b_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & b_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

      例1.
        解线性方程组： ${\begin{cases} 2 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} + x_{4} = 8 \\ x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{4} = 9 \\ 2 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = - 5 \\ x_{1} + 4 x_{2} - 7 x_{3} + 6 x_{4} = 0 \end{cases}$
        将未知数前方的系数组合为一个行列式D，然后再用展开定理求出D的值：
$D = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 5 & 1 \\ 1 & - 3 & 0 & - 6 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 4 & - 7 & 6 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 7 & - 5 & 13 \\ 1 & - 3 & 0 & - 6 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = 1 (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 7 & - 5 & 13 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 7 & - 5 & 13 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} - 3 & - 5 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 7 & - 7 & - 2 \end{matrix} | = - (- 1) (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} - 3 & 3 \\ - 7 & - 2 \end{matrix} | = 27$
        随后求出D₁，D₂，D₃，D₄的值，各值就是将对应列的元素替换为常数值，结果为：
$D_{1} = | \begin{matrix} 8 & 1 & - 5 & 1 \\ 9 & - 3 & 0 & - 6 \\ - 5 & 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 4 & - 7 & 6 \end{matrix} | = 81 ， D_{2} = | \begin{matrix} 2 & 8 & - 5 & 1 \\ 1 & 9 & 0 & - 6 \\ 0 & - 5 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & - 7 & 6 \end{matrix} | = - 108 ， D_{3} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 3 & 9 & - 6 \\ 0 & 2 & - 5 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{matrix} | = - 27 ， D_{4} = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 5 & 8 \\ 1 & - 3 & 0 & 9 \\ 0 & 2 & - 1 & - 5 \\ 1 & 4 & - 7 & 0 \end{matrix} | = 27$
        最后求出x₁,x₂,x₃,x₄的结果为： $x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = \frac{81}{27} = 3 ， x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = \frac{- 108}{27} = - 4 ， x_{3} = \frac{D_{3}}{D} = \frac{- 27}{27} = - 1 ， x_{4} = \frac{D_{4}}{D} = \frac{27}{27} = 1 。$
    ⑵ 定理
        定理1 如果线性方程组的系数行列式D≠0，则线性方程组一定有解，且解是惟一的。
        定理2 如果齐次方程组的系数行列式D≠0，则齐次方程组只有零解。(等号后边全都是0的话就是齐次方程组。)
                  如果齐次方程组的系数行列式D=0，则齐次方程组有非零解。

       例2：
         问当 λ 取何值时，齐次方程组 ${\begin{cases} (5 - λ) x + 2 y + 2 z = 0 \\ 2 x + (6 - λ) y = 0 \\ 2 x + (4 - λ) z = 0 \end{cases}$ 有非零解。
         因为当齐次方程组行列式D≠0时，没有非零解；那么如果需要非零解就必须保证D=0。行列式如： $D = | \begin{matrix} 5 - λ & 2 & 2 \\ 2 & 6 - λ & 0 \\ 2 & 0 & 4 - λ \end{matrix} | = 0$
         因行列式无法拆解只能直接展开：
           (5-λ)(6-λ)(4-λ)+0+0-2*(6-λ)*2-2*2(4-λ)-0
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-2*(6-λ)*2-2*2(4-λ)
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(6-λ)-4(4-λ)
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(10-2λ)
           =(5-λ)[(6-λ)(4-λ)-8]
           =(5-λ)(λ²-10λ+16)
           =(5-λ)(λ-2)(λ-8)
        如上所见：只有当 λ 等于 2、5、8 时，D=0，此时才有非零解。