线性代数 之 矩阵及其运算 总结

第一节 矩阵
行列式都是一个数，不管是2、3阶还是n阶行列式都是一个数，是有可能相等的；而矩阵是一个由圆括号或方括号括起来的表格，表格之中是数。

一、矩阵的定义

	㈠ 已知：设 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$ ，这个m*n个数成为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。 以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m*n ，m*n矩阵A也记作Am*n ，A=(aij)m*n。 几种特殊的矩阵   ⑴ 方阵     若：(m=n)，则称A为n阶方阵；n行n列的矩阵,称为n阶方阵。   ⑵ 零矩阵     若：aij=0 (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)，也就是说元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作 〇 或 A=〇。   ⑶ 对角矩阵     若：除主对角线有值外，其余元素都为0，则称A为n阶对角矩阵(必须为方阵)；或者说不在主对角线上的元素都是0，简称对角阵，记作 A=diag(λ1,λ2,...λn)。   ⑷ 单位矩阵     从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其他元素都是0的矩阵叫做单位矩阵或简称单位阵，是一种特殊的对角矩阵。如：$E=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$
	㈡ 同型矩阵   两个矩阵的行数相等，列数也相等时，则称他们是同型矩阵。
	㈢ 矩阵相等   A,B矩阵必须同型，这是必要条件；如果 ∀(aij=bij)，那么 A=B。

二，线性变换的定义

n个变量x1,x2,...,xn与m个变量y1,y2,...,ym之间的关系式 $\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n\\ ........\\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n\end{array}(\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{组}1)$， 表示一个从变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的线性变换，其中aij为常数，线性变换(方程组1)的系数aij构成的矩阵A=(aij)m*n。

第二节 矩阵的运算

一，矩阵加减法

	⑴ 定义 设有两个m*n矩阵A=(aij)和B=(bij)，那么矩阵A与B的和或差记作 A±B，规定为 $A\pm B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}\pm b_{11}& a_{12}\pm b_{12}& \cdots & a_{1n}\pm b_{1n}\\ a_{21}\pm b_{21}& a_{22}\pm b_{22}& \cdots & a_{2n}\pm b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}\pm b_{m1}& a_{m2}\pm b_{m2}& \cdots & a_{mn}\pm b_{mn}\end{array}\right)$
	⑵ 运算规律 矩阵加减法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是m*n矩阵)： ① A+B=B+A ； ② (A+B)+C=A+(B+C) ；
	⑶ 矩阵做加减法时必须是同型矩阵，而且是对应元素相加减。

二，数与矩阵相乘

	⑴ 定义 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为 $\lambda A=A\lambda =\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$ 一个数与行列式相乘是与其中一行相乘；而数与矩阵相乘则是数与其中的全部元素相乘。
	⑵ 运算规律 数乘矩阵满足下列运算规律(设A,B为m*n矩阵，λ,μ为数.)： ① (λμ)A=λ(μA) ② (λ+μ)A=λA+μA ③ λ(A+B)=λA+λB

三，矩阵与矩阵相乘

	⑴ 定义 设A=(aij)是一个m*s矩阵，B=(bij)是一个s*n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=(cij)，其中 c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n) 并把此乘积记作C=AB。
	⑵ 运算规律 矩阵的乘法满足下列结合律和分配率(假设运算都是可行的)； ① (AB)C+A(BC) ② λ(AB)=(λA)B=A(λB) (其中λ为数) ③ A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA
	⑶ 例题 ① 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& -1\\ 2& 1& 0& 2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& 1\\ 1& 3& 4\end{array}\right)$ 的乘积 AB。 $$A\ast B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& -1\\ 2& 1& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& 1\\ 1& 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}4+0+6-1& 1+0+0-3& 0+0+3-4& ❶\\ 8-1+0+2& 2+1+0+6& 0+3+0+8& ❷\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}9& -2& -1\\ 9& 9& 11\end{array}\right)$$ ❶ A的第一行先乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。 ❷ A的第二行再乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。 可以简单的解释为，A的行乘以B的列并且相加，每个相加的和为C的一个元素。 ② 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -3& -6\end{array}\right)$ 的乘积 AB及BA。 $$AB=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -3& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2\ast 2+4\ast (-3)& -2\ast 4+4\ast (-6)\\ 1\ast 2+(-2)\ast (-3)& 1\ast 4+(-2)\ast (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4-12& -8-24\\ 2+6& 4+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-16& -32\\ 8& 16\end{array}\right)$$ $$BA=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -3& -6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\ast (-2)+4\ast 1& 2\ast 4+4\ast (-2)\\ (-3)\ast (-2)+(-6)\ast 1& (-3)\ast 4+(-6)\ast (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4+4& 8-8\\ 6-6& -12+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$ 结论：AB 与 BA 不一定相等。
	⑷ 注意点 ① 矩阵下标第一个指行第二个指列。 ② 内标相同可乘(所谓的合法性)；如：Am*n * Bn*s n是相同的就可以相乘。 ③ 外标决定行列(左边矩阵的外标决定行，右边矩阵的外标决定列)；如：矩阵 Am*n * Bn*s = Cms。
	⑸ 补充和结论 ① A≠〇，B≠〇 ≠> AB≠〇； 矩阵A和矩阵B都不等于〇矩阵，不可推论出AB相乘不等于零矩阵。 ② A≠〇 ≠> Ak≠〇 。 ③ AB ≠ BA 不一定相等。 ④ f(x)=anxn+...+a1x1+a0x0 这是多项式，一元多项式； f(A) ≜ anAn+…+a1A+a0E ，≜ 的意思是“定义为”，也可写作：:= ；这种多项式称为矩阵A的多项式。矩阵多项式可以像是普通多项式一样进行因式分解。 ⑤ f(x)=x2-3x+2 和 f(A)=A2-3A+2E 解题思路是一样的；f(A)=A2-3A+2E=(A-E)(A-2E) 。

临时总结

	⑴ 矩阵运算的性质(上方运算规律有写) ⒈加法性质 ① A+B=B+A ② (A+B)+C=A+(B+C) ⒉乘法性质 ① kAB=(kA)B ② (AB)C=A(BC) ③ k(A+B)=kA+kB ④ A(B+C)=AB+AC
	⑵ 行列式运算的性质 不管是行列式的加减还是行列式与数相乘，都只是其中一行(列)参与运算。
	⑶ 行列式、矩阵、向量都是一种工具，其源头就是方程组；也就是说行列式、矩阵、向量都是服务于解方程组。 行列式、矩阵和向量的概念最初都与方程有着密切的关系。以下是它们与方程之间联系的简要说明： 行列式： 源头：行列式起源于解线性方程组。它最早是一种速记的表达式，用于表示线性方程组的系数及其解的关系。 作用：行列式在判断线性方程组解的存在性、唯一性以及求解线性方程组中起着关键作用。 例如，克莱姆法则就是利用行列式来求解线性方程组的。 矩阵： 源头：矩阵的概念也与线性方程组紧密相关。最初，矩阵被用作线性方程组的系数排列形式，以便更系统地处理线性方程组的求解问题。 作用：矩阵不仅简化了线性方程组的求解过程，还发展成为一种独立的数学工具，用于表示线性变换、求解线性方程、进行特征值分析等。 向量： 源头：向量最初也是作为线性方程组的解而引入的。在线性方程组中，未知数的解可以被看作是一个向量。 作用：向量在几何、物理、工程等多个领域都有广泛应用。它不仅可以表示方向和大小，还可以用于表示线性空间中的元素、进行向量运算等。 总的来说，行列式、矩阵和向量的概念最初都是为了解决线性方程组而引入的，但随着时间的推移，它们逐渐发展成为数学中独立且重要的分支， 具有广泛的应用价值。这些数学工具不仅简化了线性方程组的求解过程，还推动了数学、物理、工程等多个领域的发展。

四、矩阵的转置

	⑴ 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。 同序数指的是相对于主对角线相对应的数； 也可以说行列对调(就是讲对应的行列互换，第一行变成第一列、第二行变成第二列等)相对位置不变。
	⑵ 运算规律 矩阵的转置满足下列运算规律(假设运算都是可行的)： ❶ (AT)T=A ❷ (A+B)T=AT+BT ❸ (λA)T=λAT ❹ (AB)T=BTAT
	⑶ 例题 ① 已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$ ，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 7& -1\\ 4& 2& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$，求(AB)T $AB=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 7& -1\\ 4& 2& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2+0-2& 14+0+0& -2+0-1\\ 1+12+4& 7+6+0& -1+9+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 14& -3\\ 17& 13& 10\end{array}\right)$ $(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 17\\ 14& 13\\ -3& 10\end{array}\right)$ ② 设列矩阵X=(x1,x2,…,xn)T，满足XT*X=1，E为n阶单位阵，H=E-2XXT,证明H是对称阵，且HHT=E。 因为 H=E-2XXT； 那么 HT=(E-2XXT)T=ET-2(XXT)T=E-2(XT)T*XT=E-2XXT=H； 所以 H=HT,H为对称矩阵。 HHT=(E-2XXT)(E-2XXT)=E2-4XXT+(2XXT)(2XXT)=E-4XXT+4XXTXXT； 因为 XT*X=1 ，所以 4XXTXXT = 4XXT； 所以 HHT=E-4XXT+4XXT=E。

五、方阵的行列式

	① 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作|A|或者detA。
	② 运算规律 由A确定|A|的这个运算满足下列运算规律(设 A,B为n阶方阵，λ为数)： ❶ |AT|=|A| ❷ |λA|=λn|A| ❸ |AB|=|B||A|

第三节 可逆矩阵

一，背景：一元一次方程的解

对方程 ax=b， 情形一：a≠0 由(1/a)*a=1得(1/a)*ax=(1/a)*b，即x=b/a； 情形二：a=0 ⑴ 若b=0，则方程有无数个解； ⑵ 如b≠0，则方程无解。 (因为,零乘以任何数都为零)

二，矩阵问题的产生

⑴ $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0,\end{array}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{组}$$ ⑵ $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{非}\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{组}$$ 令 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$ ，则方程组(1)，(2)可表示为：(1) AX=〇，(2) AX=b 。

情形一： A为n阶矩阵，存在B，使得BA=E 由AX=b得BAX=Bb，即X=Bb； 情形二： ⑴ A为n矩阵，不存在B，使得BA=E ⑵ A为m*n矩阵，且 m≠n 背景与问题结合看

三，逆矩阵的定义(逆矩阵必须是方阵)

	㈠ 定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。 A的逆阵记作A-1。即若AB=BA=E，则B=A-1（读作B等于A的逆）。 例题1. 设A为n阶矩阵，且满足 A2+A-4E=〇，求矩阵A的逆矩阵。 A^2+A-4E=〇 可推出 (A+E)*A=4E 可继续写为 1/4(A+E)*A =E，所以 A可逆且A-1=1/4(A+E)。 例题2. 设A≠〇为n阶矩阵，且满足 A2=〇，求矩阵(E-A)-1。 E=E-A2=(E+A)(E-A)，所以E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A。
	㈡ 性质 ⑴ 若矩阵A可逆，则|A|≠0。 ⑵ 若|A|≠0，则矩阵A可逆，且A-1=1/|A|*A* ，其中A*为矩阵A的伴随阵。 ⑶ 若AB=E (或BA=E)，则B=A-1。 补充: A*都是由 A的代数余子式组成。 A-1*A=E 。

四，伴随矩阵及矩阵可逆的条件

	1.1 伴随矩阵 设：矩阵A为 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ ，取行列式 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$，对元素 aij其余子式为Mij， 运算过程： ∀ aij => Mij => Aij=(-1)i+jMij ，由任意元素aij可得出余子式Mij，而由余子式Mij可以求出代数余子式Aij 。 将|A|的第一行的代数余子式放在第一列，第二行的放在第二列，以此类推可得，$A^{\ast }=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right|$，为A的伴随矩阵。 注解:AA*=A*A=|A|E。$A{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{n1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}|A|& 0& \cdots & 0\\ 0& |A|& \cdots & 0\\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \cdots & |A|\end{array}\right)=|A|E$
	1.2 伴随矩阵的计算 A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按特定顺序排列后转置得到的。 具体步骤如下：   ❶ 计算代数余子式：      对于矩阵A中的每一个元素aij（i,j=1,2,…,n），首先划去该元素所在的行和列， 得到一个(n-1)阶的子矩阵，称为元素aij的余子式，记作Mij。 接着，给余子式Mij带上符号(-1)i+j，得到元素aij的代数余子式，记作Aij=(-1)i+jMij。   ❷ 构造伴随矩阵：      创建一个新的n×n矩阵，称为A的伴随矩阵，记作adj(A)或A*。 在这个新矩阵中，第i行第j列的元素就是原矩阵A中第j行第i列的元素的代数余子式Aji。   ❸ 转置矩阵：      由于在构造伴随矩阵时，我们是将原矩阵A的代数余子式按特定顺序（即转置的顺序）排列的， 因此得到的伴随矩阵实际上是原矩阵A的代数余子矩阵的转置矩阵。 综上所述，A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按转置的顺序排列后得到的。
	1.3 ❶ 取某一行元素跟自己的(行数相等)代数余子式(对应元素)相乘最后相加等于行列式。 ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin=|A| ❷ 取某一行元素跟不同行的代数余子式(i≠j)相乘等于0。 ai1Aj1+ai2Aj2+…ainAjn=0
	1.4 矩阵可逆的充要条件 设A为n阶矩阵，A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵. 且 A-1=A*/|A|。 ① An*n , |kA|=kn|A| ② An*n , Bn*n , 则 |AB|=|A|*|B|
	例：$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 0& 4\\ 3& 1& -5\end{array}\right)$，A可逆否？当可逆，A-1等于什么？ 解：$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 0& 4\\ 3& 1& -5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 4& -11\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -19\end{array}\right|=-19\ne 0$ 所以A可逆。 $\{\begin{array}{l}{M}_{11}=-4,A_{11}=-4\\ M_{12}=-17,A12=17\\ M_{13}=1,A_{13}=1\end{array}，\{\begin{array}{l}{M}_{21}=3,A_{21}=-3\\ M_{22}=-11,A_{22}=-11\\ M_{23}=4,A_{23}=-4\end{array}，\{\begin{array}{l}{M}_{31}=-4,A_{31}=-4\\ M_{32}=2,A_{32}=-2\\ M_{33}=1,A_{33}=1\end{array}$ $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-4& -3& -4\\ 17& -11& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right)$ $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=-\frac{1}{19}\left(\begin{array}{ccc}-4& -3& -4\\ 17& -11& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right)$

五，运算规律

方阵的逆矩阵满足下列运算规律：   ⑴ 若A可逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1=A。   ⑵ 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)-1=1/λ*A-1。   ⑶ 若 A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1。   ⑷ A*A-1=E 矩阵A乘以A的逆矩阵等于单位矩阵E，单位矩阵相当于数学运算中的1。二阶行列式求伴随式，主对调副变号。

例题： 求方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵。 因为 $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right|=6+6+24-18-4-12=2$ ，|A|不等于0，所以可逆； 又因为 A-1=A*/|A| （A逆等于A的伴随除以 A行列式）； 而A的伴随矩阵是A的各个代数余子式的值，所组成的矩阵； 所以 A的伴随矩阵 $A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}2& 6& -4\\ -3& -6& 5\\ 2& 2& -2\end{array}\right]$ ； 解：所以A的逆矩阵是 $A_{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ -\frac{3}{2}& -3& \frac{5}{2}\\ 1& 1& -1\end{array}\right]$。

六，逆矩阵的初步应用

⑴ 应用一：求未知矩阵 例一 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 1\\ 3& 4& 3\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)，C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)，$ 求矩阵X，满足AXB=C。 计算可知，|A|=2≠0，|B|=1≠0，所以A和B可逆。 那么，AXB=C => A-1AXB = A-1C => EXB = A-1C => EXBB-1 = A-1CB-1 => EXE = A-1CB-1 => X = A-1CB-1 。

⑵ 应用二：求矩阵的幂矩阵 例二 设 $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)，\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)，AP=P\Lambda ，$ ，求 An 。 展开思路：AP=PΛ => APP-1=PΛP-1 => 因：PP-1=P-1P=E，所以 A=PΛP-1 => An = (PΛP-1)n => An = PΛP-1 * PΛP-1 * PΛP-1*...* PΛP-1 = PΛnP-1 。 解：P-1$P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$；Λn${\Lambda }^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)$； PΛ^nP^(-1)$P{\Lambda }^n{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 2^{n+1}\\ 1& 2^{n+2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4-2^{n+1}& 2^{n+1}-2\\ 4-2^{n+2}& 2^{n+2}-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-2^n& 2^n-1\\ 2-2^{n+1}& 2^{n+1}-1\end{array}\right)$

七，克莱姆法则

	⑴ 引言 对方程组 $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n,\end{array}(\ast )$ 令 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}(1)$ $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0,\end{array}(2)$ 由非齐次方程组(1)可知， $|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \phantom{a_{11}}& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$；$|A_j|=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$； 对于齐次方程组 系数行列式D≠0，则只有零解；系数行列式D=0，则有非零解。 对于非齐次方程组 D≠0 则方程组有唯一解且xi=|Ai|/|A| ，(i=1,2,...,n)；而D=0 有无数解或者无解。
	⑵ 定理 若方程组(*)的系数行列式不为零，则其解为：x1=|A1|/|A|,x2=|A2|/|A|,…,xn=|An|/|A|；克莱姆法则求方程组系数行列式不等于零。 证明： 因为：|A|≠0，所以A可逆，且 A-1=A*/|A|。 由 AX=b 可推导出 A-1AX=A-1b， 因A-1A=E 可继续推导出 X=A-1b， 又因 A-1=A*/|A| 可推导出 X=(A*b)/|A|； $A^{\ast }b=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& \cdots & \cdots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1{A}_{11}& b_2{A}_{21}& \cdots & b_n{A}_{n1}\\ b_1{A}_{12}& b_2{A}_{22}& \cdots & b_n{A}_{n2}\\ ⋮& \cdots & \cdots & ⋮\\ b_1{A}_{1n}& b_2{A}_{2n}& \cdots & b_n{A}_{nn}\end{array}\right)$ 所以 x1=1/|A|(b1A11+b2A21+…+bnAn1)； 而 $b_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+\cdots +b_n{A}_{n1}=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_n& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=|A_1|$ 即 x1=|A1|/|A|，同理 x2=|A2|/|A|，...，xn=|An|/|A|。 ------------ |A| 矩阵A的行列式； |A1| 将矩阵A的第一列用常数替换掉； 矩阵A的行列式就是未知数的系数(也就是前面的常数)； 相同未知数放在一列，并看其是否可逆。如果可逆则继续求解； |A1| 将矩阵A的第一列用常数替换掉(这个常数是方程组的常数值)； 以此类推,将其他列也替换(只替换当前列)； |A1| 第一列,|A2| 第二列,…,|An| 第n列； 然后求各个行列式的值，最后各列求出的值再除以行列式|A|的值；就等于对应未知数的值。
	⑶ 例题 ① 用克莱姆法则求方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3=2,\\ 2x_1-x_2-3x_3=1,\\ 3x_1+2x_2-5x_3=0，\end{array}$ 的解。 解：$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& -1& -3\\ 3& 2& -5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 2& -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 3\end{array}\right|=3\ne 0$ $|A_1|=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& -1& -3\\ 0& 2& -5\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 2& -1& -1\\ 0& 2& -5\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 0& 1& 5\\ 0& 2& -5\end{array}\right|=15$；$|A_2|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& -3\\ 3& 0& -5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -3& -1\\ 0& -6& -2\end{array}\right|=0$；$|A_3|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& -1& 1\\ 3& 2& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -3\\ 0& 5& -6\end{array}\right|=9$；所以 x1=15/3=5， x2=0/3=0，x3=9/3=3。

第四节 矩阵分块法

	一，分块矩阵的定义 我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
	二，矩阵分块的背景 矩阵运算及矩阵应用过程中，若矩阵阶数高，为便于计算，一般将矩阵进行分块。
	三，分块矩阵的性质 ⑴设A，B同型且分块法相同，且 $A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1r}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{sr}\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{s1}& B_{s2}& \cdots & B_{sr}\end{array}\right)，$ 则：$A\pm B=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}\pm B_{11}& A_{12}\pm B_{12}& \cdots & A_{1r}\pm B_{1r}\\ A_{21}\pm B_{21}& A_{22}\pm B_{22}& \cdots & A_{2r}\pm B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}\pm B_{s1}& A_{s2}\pm B_{s2}& \cdots & A_{sr}\pm B_{sr}\end{array}\right)$ 。 ⑵$\mathrm{设}：A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1r}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{sr}\end{array}\right)，\mathrm{则}：kA=\left(\begin{array}{cccc}k{A}_{11}& k{A}_{12}& \cdots & k{A}_{1r}\\ k{A}_{21}& k{A}_{22}& \cdots & k{A}_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{A}_{s1}& k{A}_{s2}& \cdots & k{A}_{sr}\end{array}\right)；$ ⑶设：A为m*l矩阵，B为l*m矩阵，且 $A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1t}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2t}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{s1}& A_{s2}& \cdots & A_{st}\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{t1}& B_{t2}& \cdots & B_{tr}\end{array}\right)，$ 其中Ai1,Ai2,...,Ait的列数与B1j,B2j,...,Btj的行数相同， 则 $C=AB=\left(\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1r}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{s1}& C_{s2}& \cdots & C_{sr}\end{array}\right)，$ 其中 $c_{ij}=\sum _{k=1}^t{a}_{ik}{b}_{kj}(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,r)$ 。 ⑷ 设 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \phantom{A_1}\\ \phantom{A_2}& A_2& \phantom{A_2}\\ \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& \ddots \\ \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& A_s\end{array}\right)$ 其中A1,A2,...,As为可逆矩阵， 则 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}_1^{-1}& \phantom{A_1}\\ \phantom{A_2}& A_2^{-1}& \phantom{A_2}\\ \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& \ddots \\ \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& \phantom{A_s}& A_s^{-1}\end{array}\right)$ 。
	四，例题讲解 ⑴ 设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -1& 2& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 4& 1\\ -1& -1& 2& 0\end{array}\right)。$ 使用分块法求 AB。 令：$A_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E，A_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=0，A_{21}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)，A_{22}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E，A=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ A_{21}& E\end{array}\right)$ $B_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)，B_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E，B_{21}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -1\end{array}\right)，B_{22}=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 0\end{array}\right)，B=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)$ $A\ast B=\left(\begin{array}{cc}E& 0\\ A_{21}& E\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ B_{21}& B_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& E\\ A_{21}\ast B_{11}+B_{21}& A_{21}+B_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 0& 1\\ -2& 4& 3& 3\\ -1& 1& 3& 1\end{array}\right)$ 同型矩阵相加就是对应元素相加，同型矩阵相乘就是A行*B列对应元素并相加。 ⑵ 设 $A=\left(\begin{array}{cccc}5& 3& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 3& 4\\ 0& 0& 2& 1\end{array}\right)$，使用分块法求A-1。 $A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 1\end{array}\right)，A_2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)，A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \phantom{A_1}\\ \phantom{A_2}& A_2\end{array}\right)$ 因为 A1=-1≠0，A2=1≠0，所以 A1和A2可逆； $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}_1^{-1}& \phantom{A_1}\\ \phantom{A_2}& A_2^{-1}\end{array}\right)$ 二阶行列式的伴随矩阵是主线对调，副线取反；那么逆阵就是伴随矩阵除以行列式的值。 $A_1^{-1}=\frac{A_1^{\ast }}{|A_1|}=-\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -5\end{array}\right)$ $A_2^{-1}=\frac{A_2^{\ast }}{|A_2|}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$ $A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 3& 0& 0\\ 2& -5& 0& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& -2& 3\end{array}\right)$ ⑶证明矩阵A=〇的充分必要条件是方阵ATA=〇。 必要性 因为：A=〇，所以：AT*A=〇*〇=〇； 充分性 Am*n=[λ_1,λ_2,...,λ_n] ； $A^T\ast A=\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1^T\\ {\lambda }_2^T\\ ⋮\\ {\lambda }_n^T\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^T{\lambda }_1& {\lambda }_1^T{\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_1^T{\lambda }_n\\ {\lambda }_2^T{\lambda }_1& {\lambda }_2^T{\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_2^T{\lambda }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\lambda }_n^T{\lambda }_1& {\lambda }_n^T{\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n^T{\lambda }_n\end{array}\right]=〇$ 因为〇的所有元素都是0，所以 λnT *λn = 0 。