地球孤鹰记事 - 第 2 页 - 自己写东西的地方

2025年1月23日

还是粗心大意了！

做习题时不是记错正负号就是正负号消除错误，

最重要的是忘记进行转置....

已经提醒自己很多遍了，但还是会忘记，只能多加练习了。

2025年1月17日2025年1月21日

线性代数之矩阵及其运算总结

第一节矩阵
行列式都是一个数，不管是2、3阶还是n阶行列式都是一个数，是有可能相等的；而矩阵是一个由圆括号或方括号括起来的表格，表格之中是数。

一、矩阵的定义

	㈠已知：设 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ ，这个mn个数成为矩阵A的元素，简称为元，数a_ij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。以数a_ij为(i,j)元的矩阵可简记作(a_ij)或(a_ij)_mn ，mn矩阵A也记作A_mn ，A=(a_ij)_m*n。几种特殊的矩阵 ⑴ 方阵若：(m=n)，则称A为n阶方阵；n行n列的矩阵,称为n阶方阵。 ⑵ 零矩阵若：a_ij=0 (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)，也就是说元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作〇或 A=〇。 ⑶ 对角矩阵若：除主对角线有值外，其余元素都为0，则称A为n阶对角矩阵(必须为方阵)；或者说不在主对角线上的元素都是0，简称对角阵，记作 A=diag(λ₁,λ₂,...λn)。 ⑷ 单位矩阵从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其他元素都是0的矩阵叫做单位矩阵或简称单位阵，是一种特殊的对角矩阵。如： $E = (\begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})$
	㈡同型矩阵两个矩阵的行数相等，列数也相等时，则称他们是同型矩阵。
	㈢矩阵相等 A,B矩阵必须同型，这是必要条件；如果 ∀(a_ij=b_ij)，那么 A=B。

二，线性变换的定义

n个变量x₁,x₂,...,x_n与m个变量y₁,y₂,...,y_m之间的关系式

{\begin{cases} y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} \\ y_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} \\ . . . . . . . . \\ y_{m} = a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + . . . + a_{m n} x_{n} \end{cases} (方 程 组 1)

，
表示一个从变量x₁,x₂,...,x_n到变量y₁,y₂,...,y_m的线性变换，其中a_ij为常数，线性变换(方程组1)的系数a_ij构成的矩阵A=(a_ij)_m*n。

第二节矩阵的运算

一，矩阵加减法

	⑴ 定义设有两个m*n矩阵A=(a_ij)和B=(b_ij)，那么矩阵A与B的和或差记作 A±B，规定为 $A \pm B = (\begin{matrix} a_{11} \pm b_{11} & a_{12} \pm b_{12} & \dots & a_{1 n} \pm b_{1 n} \\ a_{21} \pm b_{21} & a_{22} \pm b_{22} & \dots & a_{2 n} \pm b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} \pm b_{m 1} & a_{m 2} \pm b_{m 2} & \dots & a_{m n} \pm b_{m n} \end{matrix})$
	⑵ 运算规律矩阵加减法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是m*n矩阵)： ① A+B=B+A ； ② (A+B)+C=A+(B+C) ；
	⑶ 矩阵做加减法时必须是同型矩阵，而且是对应元素相加减。

二，数与矩阵相乘

	⑴ 定义数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为 $λ A = A λ = (\begin{matrix} λ a_{11} & λ a_{12} & \dots & λ a_{1 n} \\ λ a_{21} & λ a_{22} & \dots & λ a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ λ a_{m 1} & λ a_{m 2} & \dots & λ a_{m n} \end{matrix})$ 一个数与行列式相乘是与其中一行相乘；而数与矩阵相乘则是数与其中的全部元素相乘。
	⑵ 运算规律数乘矩阵满足下列运算规律(设A,B为m*n矩阵，λ,μ为数.)： ① (λμ)A=λ(μA) ② (λ+μ)A=λA+μA ③ λ(A+B)=λA+λB

三，矩阵与矩阵相乘

	⑴ 定义设A=(a_ij)是一个ms矩阵，B=(b_ij)是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=(c_ij)，其中 $c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i s} b_{s j} = \sum_{k = 1}^{s} a_{i k} b_{k j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 并把此乘积记作C=AB。
	⑵ 运算规律矩阵的乘法满足下列结合律和分配率(假设运算都是可行的)； ① (AB)C+A(BC) ② λ(AB)=(λA)B=A(λB) (其中λ为数) ③ A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA
	⑶ 例题 ① 求矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$ 与 $B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix})$ 的乘积 AB。 $A * B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 + 0 + 6 - 1 & 1 + 0 + 0 - 3 & 0 + 0 + 3 - 4 & ❶ \\ 8 - 1 + 0 + 2 & 2 + 1 + 0 + 6 & 0 + 3 + 0 + 8 & ❷ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 & - 2 & - 1 \\ 9 & 9 & 11 \end{matrix})$ ❶ A的第一行先乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。 ❷ A的第二行再乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。可以简单的解释为，A的行乘以B的列并且相加，每个相加的和为C的一个元素。 ② 求矩阵 $A = (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ 与 $B = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix})$ 的乘积 AB及BA。 $A B = (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 * 2 + 4 * (- 3) & - 2 * 4 + 4 * (- 6) \\ 1 * 2 + (- 2) * (- 3) & 1 * 4 + (- 2) * (- 6) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 - 12 & - 8 - 24 \\ 2 + 6 & 4 + 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 16 & - 32 \\ 8 & 16 \end{matrix})$ $B A = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 * (- 2) + 4 * 1 & 2 * 4 + 4 * (- 2) \\ (- 3) * (- 2) + (- 6) * 1 & (- 3) * 4 + (- 6) * (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 + 4 & 8 - 8 \\ 6 - 6 & - 12 + 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ 结论：AB 与 BA 不一定相等。
	⑷ 注意点 ① 矩阵下标第一个指行第二个指列。 ② 内标相同可乘(所谓的合法性)；如：A_mn B_ns n是相同的就可以相乘。 ③ 外标决定行列(左边矩阵的外标决定行，右边矩阵的外标决定列)；如：矩阵 A_mn * B_n*s = C_ms。
	⑸ 补充和结论 ① A≠〇，B≠〇 ≠> AB≠〇；矩阵A和矩阵B都不等于〇矩阵，不可推论出AB相乘不等于零矩阵。 ② A≠〇 ≠> A^k≠〇。 ③ AB ≠ BA 不一定相等。 ④ f(x)=a_nxⁿ+...+a₁x¹+a₀x⁰ 这是多项式，一元多项式； f(A) ≜ a_nAⁿ+…+a₁A+a₀E ，≜ 的意思是“定义为”，也可写作：:= ；这种多项式称为矩阵A的多项式。矩阵多项式可以像是普通多项式一样进行因式分解。 ⑤ f(x)=x²-3x+2 和 f(A)=A²-3A+2E 解题思路是一样的；f(A)=A²-3A+2E=(A-E)(A-2E) 。

临时总结

	⑴ 矩阵运算的性质(上方运算规律有写) ⒈加法性质 ① A+B=B+A ② (A+B)+C=A+(B+C) ⒉乘法性质 ① kAB=(kA)B ② (AB)C=A(BC) ③ k(A+B)=kA+kB ④ A(B+C)=AB+AC
	⑵ 行列式运算的性质不管是行列式的加减还是行列式与数相乘，都只是其中一行(列)参与运算。
	⑶ 行列式、矩阵、向量都是一种工具，其源头就是方程组；也就是说行列式、矩阵、向量都是服务于解方程组。 `行列式、矩阵和向量的概念最初都与方程有着密切的关系。以下是它们与方程之间联系的简要说明：` `行列式：` `源头：行列式起源于解线性方程组。它最早是一种速记的表达式，用于表示线性方程组的系数及其解的关系。` `作用：行列式在判断线性方程组解的存在性、唯一性以及求解线性方程组中起着关键作用。例如，克莱姆法则就是利用行列式来求解线性方程组的。` `矩阵：` `源头：矩阵的概念也与线性方程组紧密相关。最初，矩阵被用作线性方程组的系数排列形式，以便更系统地处理线性方程组的求解问题。` `作用：矩阵不仅简化了线性方程组的求解过程，还发展成为一种独立的数学工具，用于表示线性变换、求解线性方程、进行特征值分析等。` `向量：` `源头：向量最初也是作为线性方程组的解而引入的。在线性方程组中，未知数的解可以被看作是一个向量。` `作用：向量在几何、物理、工程等多个领域都有广泛应用。它不仅可以表示方向和大小，还可以用于表示线性空间中的元素、进行向量运算等。` `总的来说，行列式、矩阵和向量的概念最初都是为了解决线性方程组而引入的，但随着时间的推移，它们逐渐发展成为数学中独立且重要的分支，具有广泛的应用价值。这些数学工具不仅简化了线性方程组的求解过程，还推动了数学、物理、工程等多个领域的发展。`

四、矩阵的转置

	⑴ 定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A^T。同序数指的是相对于主对角线相对应的数；也可以说行列对调(就是讲对应的行列互换，第一行变成第一列、第二行变成第二列等)相对位置不变。
	⑵ 运算规律矩阵的转置满足下列运算规律(假设运算都是可行的)： ❶ (A^T)^T=A ❷ (A+B)^T=A^T+B^T ❸ (λA)^T=λA^T ❹ (AB)^T=B^TA^T
	⑶ 例题 ① 已知 $A = (\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} 1 & 7 & - 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix})$ ，求(AB)^T $A B = (\begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 7 & - 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + 0 - 2 & 14 + 0 + 0 & - 2 + 0 - 1 \\ 1 + 12 + 4 & 7 + 6 + 0 & - 1 + 9 + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 14 & - 3 \\ 17 & 13 & 10 \end{matrix})$ $(A B)^{T} = (\begin{matrix} 0 & 17 \\ 14 & 13 \\ - 3 & 10 \end{matrix})$ ② 设列矩阵X=(x₁,x₂,…,x_n)^T，满足X^TX=1，E为n阶单位阵，H=E-2XX^T,证明H是对称阵，且HH^T=E。因为 H=E-2XX^T；那么 H^T=(E-2XX^T)^T=E^T-2(XX^T)^T=E-2(X^T)^TX^T=E-2XX^T=H；所以 H=H^T,H为对称矩阵。 HH^T=(E-2XX^T)(E-2XX^T)=E²-4XX^T+(2XX^T)(2XX^T)=E-4XX^T+4XX^TXX^T；因为 X^T*X=1 ，所以 4XX^TXX^T = 4XX^T；所以 HH^T=E-4XX^T+4XX^T=E。

五、方阵的行列式

	① 定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作\|A\|或者detA。
	② 运算规律由A确定\|A\|的这个运算满足下列运算规律(设 A,B为n阶方阵，λ为数)： ❶ \|A^T\|=\|A\| ❷ \|λA\|=λⁿ\|A\| ❸ \|AB\|=\|B\|\|A\|

第三节可逆矩阵

一，背景：一元一次方程的解

对方程 ax=b，
情形一：a≠0
由(1/a)*a=1得(1/a)*ax=(1/a)*b，即x=b/a；
情形二：a=0
⑴ 若b=0，则方程有无数个解；
⑵ 如b≠0，则方程无解。
(因为,零乘以任何数都为零)

二，矩阵问题的产生

⑴

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = 0, \end{cases} 称 为 齐 次 线 性 方 程 组

⑵

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m}, \end{cases} 称 为 非 齐 次 线 性 方 程 组

令

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

，则方程组(1)，(2)可表示为：(1) AX=〇，(2) AX=b 。

情形一：
A为n阶矩阵，存在B，使得BA=E
由AX=b得BAX=Bb，即X=Bb；
情形二：
⑴ A为n矩阵，不存在B，使得BA=E
⑵ A为m*n矩阵，且 m≠n
背景与问题结合看

三，逆矩阵的定义(逆矩阵必须是方阵)

㈠定义
对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。
A的逆阵记作A^-1。即若AB=BA=E，则B=A^-1（读作B等于A的逆）。
例题1.
设A为n阶矩阵，且满足 A²+A-4E=〇，求矩阵A的逆矩阵。
A^2+A-4E=〇可推出 (A+E)*A=4E 可继续写为 1/4(A+E)*A =E，所以 A可逆且A^-1=1/4(A+E)。
例题2.
设A≠〇为n阶矩阵，且满足 A²=〇，求矩阵(E-A)^-1。
E=E-A²=(E+A)(E-A)，所以E-A可逆，且 (E-A)^-1=E+A。

㈡性质
⑴ 若矩阵A可逆，则|A|≠0。
⑵ 若|A|≠0，则矩阵A可逆，且A^-1=1/|A|*A^* ，其中A^*为矩阵A的伴随阵。
⑶ 若AB=E (或BA=E)，则B=A^-1。
补充:
A^*都是由 A的代数余子式组成。
A^-1*A=E 。

四，伴随矩阵及矩阵可逆的条件

	1.1 伴随矩阵设：矩阵A为 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ ，取行列式 $\| A \| = \| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} \|$ ，对元素 a_ij其余子式为M_ij，运算过程： ∀ a_ij => M_ij => A_ij=(-1)^i+jM_ij ，由任意元素a_ij可得出余子式M_ij，而由余子式M_ij可以求出代数余子式A_ij 。将\|A\|的第一行的代数余子式放在第一列，第二行的放在第二列，以此类推可得， $A^{} = \| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} \|$ ，为A的伴随矩阵。注解:AA^=A^A=\|A\|E。 $A A^{} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{n 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \| A \| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \| A \| & \dots & 0 \\ ⋮ & \dots & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & \dots & \| A \| \end{matrix}) = \| A \| E$
	1.2 伴随矩阵的计算 A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按特定顺序排列后转置得到的。具体步骤如下： ❶ 计算代数余子式：对于矩阵A中的每一个元素a_ij（i,j=1,2,…,n），首先划去该元素所在的行和列，得到一个(n-1)阶的子矩阵，称为元素a_ij的余子式，记作M_ij。接着，给余子式M_ij带上符号(-1)^i+j，得到元素a_ij的代数余子式，记作A_ij=(-1)^i+jM_ij。 ❷ 构造伴随矩阵：创建一个新的n×n矩阵，称为A的伴随矩阵，记作adj(A)或A^*。在这个新矩阵中，第i行第j列的元素就是原矩阵A中第j行第i列的元素的代数余子式A_ji。 ❸ 转置矩阵：由于在构造伴随矩阵时，我们是将原矩阵A的代数余子式按特定顺序（即转置的顺序）排列的，因此得到的伴随矩阵实际上是原矩阵A的代数余子矩阵的转置矩阵。综上所述，A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按转置的顺序排列后得到的。
	1.3 ❶ 取某一行元素跟自己的(行数相等)代数余子式(对应元素)相乘最后相加等于行列式。 a_i1A_i1+a_i2A_i2+…a_inA_in=\|A\| ❷ 取某一行元素跟不同行的代数余子式(i≠j)相乘等于0。 a_i1A_j1+a_i2A_j2+…a_inA_jn=0
	1.4 矩阵可逆的充要条件设A为n阶矩阵，A是可逆矩阵的充分必要条件是\|A\|≠0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵. 且 A^-1=A^/\|A\|。 ① A_nn , \|kA\|=kⁿ\|A\| ② A_nn , B_nn , 则 \|AB\|=\|A\|*\|B\|
	例： $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & - 5 \end{matrix})$ ，A可逆否？当可逆，A^-1等于什么？解： $\| A \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & - 5 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & - 11 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 19 \end{matrix} \| = - 19 \neq 0$ 所以A可逆。 ${\begin{cases} M_{11} = - 4, A_{11} = - 4 \\ M_{12} = - 17, A 12 = 17 \\ M_{13} = 1, A_{13} = 1 \end{cases} ， {\begin{cases} M_{21} = 3, A_{21} = - 3 \\ M_{22} = - 11, A_{22} = - 11 \\ M_{23} = 4, A_{23} = - 4 \end{cases} ， {\begin{cases} M_{31} = - 4, A_{31} = - 4 \\ M_{32} = 2, A_{32} = - 2 \\ M_{33} = 1, A_{33} = 1 \end{cases}$ $A^{} = (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 4 \\ 17 & - 11 & - 2 \\ 1 & - 4 & 1 \end{matrix})$ $A^{- 1} = \frac{1}{\| A \|} A^{} = - \frac{1}{19} (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 4 \\ 17 & - 11 & - 2 \\ 1 & - 4 & 1 \end{matrix})$

五，运算规律

方阵的逆矩阵满足下列运算规律：
  ⑴ 若A可逆，则A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A。
  ⑵ 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)^-1=1/λ*A^-1。
  ⑶ 若 A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
  ⑷ A*A^-1=E 矩阵A乘以A的逆矩阵等于单位矩阵E，单位矩阵相当于数学运算中的1。二阶行列式求伴随式，主对调副变号。

例题：
求方阵

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix})

的逆矩阵。
因为

| A | = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix} | = 6 + 6 + 24 - 18 - 4 - 12 = 2

，|A|不等于0，所以可逆；
又因为 A^-1=A^*/|A| （A逆等于A的伴随除以 A行列式）；
而A的伴随矩阵是A的各个代数余子式的值，所组成的矩阵；
所以 A的伴随矩阵

A^{*} = [\begin{matrix} 2 & 6 & - 4 \\ - 3 & - 6 & 5 \\ 2 & 2 & - 2 \end{matrix}]

；
解：所以A的逆矩阵是

A_{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |} = [\begin{matrix} 1 & 3 & - 2 \\ - \frac{3}{2} & - 3 & \frac{5}{2} \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}]

。

六，逆矩阵的初步应用

⑴ 应用一：求未知矩阵
例一设

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix}) ， C = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}) ，

求矩阵X，满足AXB=C。
计算可知，|A|=2≠0，|B|=1≠0，所以A和B可逆。
那么，AXB=C => A^-1AXB = A^-1C => EXB = A^-1C => EXBB^-1 = A^-1CB^-1 => EXE = A^-1CB^-1 => X = A^-1CB^-1 。

⑵ 应用二：求矩阵的幂矩阵
例二设

P = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}) ， Λ = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) ， A P = P Λ ，

，求 Aⁿ 。
展开思路：AP=PΛ => APP^-1=PΛP^-1 => 因：PP^-1=P^-1P=E，所以 A=PΛP^-1 => Aⁿ = (PΛP^-1)ⁿ => Aⁿ = PΛP^-1 * PΛP^-1 * PΛP^-1*...* PΛP^-1 = PΛⁿP^-1 。
解：P^-1

P^{- 1} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix})

；Λⁿ

Λ^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix})

；
PΛ^nP^(-1)

P Λ^{n} P^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix}) \frac{1}{2} (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 2^{n + 1} \\ 1 & 2^{n + 2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 4 - 2^{n + 1} & 2^{n + 1} - 2 \\ 4 - 2^{n + 2} & 2^{n + 2} - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 - 2^{n} & 2^{n} - 1 \\ 2 - 2^{n + 1} & 2^{n + 1} - 1 \end{matrix})

七，克莱姆法则

	⑴ 引言对方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + . . . + a_{n n} x_{n} = b_{n}, \end{cases} (*)$ 令 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases} (1)$ ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0, \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = 0, \end{cases} (2)$ 由非齐次方程组(1)可知， $\| A \| = \| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} \|$ ； $\| A_{j} \| = \| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & b_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & b_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} \|$ ；对于齐次方程组系数行列式D≠0，则只有零解；系数行列式D=0，则有非零解。对于非齐次方程组 D≠0 则方程组有唯一解且x_i=\|A_i\|/\|A\| ，(i=1,2,...,n)；而D=0 有无数解或者无解。
	⑵ 定理若方程组()的系数行列式不为零，则其解为：x₁=\|A₁\|/\|A\|,x₂=\|A₂\|/\|A\|,…,x_n=\|A_n\|/\|A\|；克莱姆法则求方程组系数行列式不等于零。证明：因为：\|A\|≠0，所以A可逆，且 A^-1=A^/\|A\|。由 AX=b 可推导出 A^-1AX=A^-1b，因A^-1A=E 可继续推导出 X=A^-1b，又因 A^-1=A^/\|A\| 可推导出 X=(A^b)/\|A\|； $A^{*} b = (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & \dots & \dots & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} A_{11} & b_{2} A_{21} & \dots & b_{n} A_{n 1} \\ b_{1} A_{12} & b_{2} A_{22} & \dots & b_{n} A_{n 2} \\ ⋮ & \dots & \dots & ⋮ \\ b_{1} A_{1 n} & b_{2} A_{2 n} & \dots & b_{n} A_{n n} \end{matrix})$ 所以 x₁=1/\|A\|(b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1)；而 $b_{1} A_{11} + b_{2} A_{21} + \dots + b_{n} A_{n 1} = \| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b_{n} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} \| = \| A_{1} \|$ 即 x₁=\|A₁\|/\|A\|，同理 x₂=\|A₂\|/\|A\|，...，x_n=\|A_n\|/\|A\|。 ------------ \|A\| 矩阵A的行列式； \|A₁\| 将矩阵A的第一列用常数替换掉；矩阵A的行列式就是未知数的系数(也就是前面的常数)；相同未知数放在一列，并看其是否可逆。如果可逆则继续求解； \|A₁\| 将矩阵A的第一列用常数替换掉(这个常数是方程组的常数值)；以此类推,将其他列也替换(只替换当前列)； \|A₁\| 第一列,\|A₂\| 第二列,…,\|A_n\| 第n列；然后求各个行列式的值，最后各列求出的值再除以行列式\|A\|的值；就等于对应未知数的值。
	⑶ 例题 ① 用克莱姆法则求方程组 ${\begin{cases} x_{1} - x_{2} - x_{3} = 2, \\ 2 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} = 1, \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} - 5 x_{3} = 0 ， \end{cases}$ 的解。解： $\| A \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & - 1 & - 3 \\ 3 & 2 & - 5 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 2 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \| = 3 \neq 0$ $\| A_{1} \| = \| \begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 2 & - 5 \end{matrix} \| = - \| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 3 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 5 \end{matrix} \| = - \| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & - 5 \end{matrix} \| = 15$ ； $\| A_{2} \| = \| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 3 \\ 3 & 0 & - 5 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 3 & - 1 \\ 0 & - 6 & - 2 \end{matrix} \| = 0$ ； $\| A_{3} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 5 & - 6 \end{matrix} \| = 9$ ；所以 x₁=15/3=5， x₂=0/3=0，x₃=9/3=3。

第四节矩阵分块法

	一，分块矩阵的定义我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
	二，矩阵分块的背景矩阵运算及矩阵应用过程中，若矩阵阶数高，为便于计算，一般将矩阵进行分块。
	三，分块矩阵的性质 ⑴设A，B同型且分块法相同，且 $A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 r} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s r} \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{s 1} & B_{s 2} & \dots & B_{s r} \end{matrix}) ，$ 则： $A \pm B = (\begin{matrix} A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} & \dots & A_{1 r} \pm B_{1 r} \\ A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} & \dots & A_{2 r} \pm B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} \pm B_{s 1} & A_{s 2} \pm B_{s 2} & \dots & A_{s r} \pm B_{s r} \end{matrix})$ 。 ⑵ $设： A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 r} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s r} \end{matrix}) ，则： k A = (\begin{matrix} k A_{11} & k A_{12} & \dots & k A_{1 r} \\ k A_{21} & k A_{22} & \dots & k A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k A_{s 1} & k A_{s 2} & \dots & k A_{s r} \end{matrix}) ；$ ⑶设：A为ml矩阵，B为lm矩阵，且 $A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s t} \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{t 1} & B_{t 2} & \dots & B_{t r} \end{matrix}) ，$ 其中A_i1,A_i2,...,A_it的列数与B_1j,B_2j,...,B_tj的行数相同，则 $C = A B = (\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 r} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{s 1} & C_{s 2} & \dots & C_{s r} \end{matrix}) ，$ 其中 $c_{i j} = \sum_{k = 1}^{t} a_{i k} b_{k j} (i = 1, 2, \dots, s; j = 1, 2, \dots, r)$ 。 ⑷ 设 $A = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{s} \end{matrix})$ 其中A₁,A₂,...,A_s为可逆矩阵，则 $A^{- 1} = (\begin{matrix} A_{1}^{- 1} \\ A_{2}^{- 1} \\ ⋱ \\ A_{s}^{- 1} \end{matrix})$ 。
	四，例题讲解 ⑴ 设 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{matrix}) 。$ 使用分块法求 AB。令： $A_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， A_{12} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 0 ， A_{21} = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) ， A_{22} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， A = (\begin{matrix} E & 0 \\ A_{21} & E \end{matrix})$ $B_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) ， B_{12} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， B_{21} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}) ， B_{22} = (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix})$ $A * B = (\begin{matrix} E & 0 \\ A_{21} & E \end{matrix}) * (\begin{matrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} B_{11} & E \\ A_{21} * B_{11} + B_{21} & A_{21} + B_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 4 & 3 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 & 1 \end{matrix})$ 同型矩阵相加就是对应元素相加，同型矩阵相乘就是A行B列对应元素并相加。 ⑵ 设 $A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix})$ ，使用分块法求A^-1。 $A_{1} = (\begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ， A_{2} = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ， A = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix})$ 因为 A₁=-1≠0，A₂=1≠0，所以 A₁和A₂可逆； $A^{- 1} = (\begin{matrix} A_{1}^{- 1} \\ A_{2}^{- 1} \end{matrix})$ 二阶行列式的伴随矩阵是主线对调，副线取反；那么逆阵就是伴随矩阵除以行列式的值。 $A_{1}^{- 1} = \frac{A_{1}^{}}{\| A_{1} \|} = - (\begin{matrix} 1 & - 3 \\ - 2 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 2 & - 5 \end{matrix})$ $A_{2}^{- 1} = \frac{A_{2}^{}}{\| A_{2} \|} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix})$ $A^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 3 \end{matrix})$ ⑶证明矩阵A=〇的充分必要条件是方阵A^TA=〇。必要性因为：A=〇，所以：A^TA=〇〇=〇；充分性 A_mn=[λ_1,λ_2,...,λ_n] ； $A^{T} * A = [\begin{matrix} λ_{1}^{T} \\ λ_{2}^{T} \\ ⋮ \\ λ_{n}^{T} \end{matrix}] * [\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & \dots & λ_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ_{1}^{T} λ_{1} & λ_{1}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{1}^{T} λ_{n} \\ λ_{2}^{T} λ_{1} & λ_{2}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{2}^{T} λ_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ λ_{n}^{T} λ_{1} & λ_{n}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{n}^{T} λ_{n} \end{matrix}] = 〇$ 因为〇的所有元素都是0，所以 λ_n^T *λ_n = 0 。

2025年1月15日2025年1月16日

数学公式脚本测试

普通输入
a+b=b+a

公式代码
$a+b = b+a$

数学公式 Web演示库参考 https://mathjax.github.io/MathJax-demos-web/

参考文档还不如使用AI询问呢 = =！
既然只是记录而不是要研究，那就简单点用AI询问出符合的公式吧....

文心智能体平台的分支智能体 latex助手，还是不错的.
多询问几次就能得出合适的命令，能够边学边理解.

2025年1月15日2025年1月17日

线性代数之行列式总结

一、二三阶行列式

行列式分为：二、三阶行列式和 n阶行列式（不包含二三阶），因为二三阶和n阶的计算方式有一定的不同。
二阶行列式是指 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$
计算方程：a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂ 主对角线减去副对角线；最终结果是一个数。
以下所有行列式通用：
其中 a_ij （i=1,2;j=1,2.）称为上方行列式的元素或者元。
元素 a_ij 的
第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，
第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列；
位于第i行第j列的元素称为上面行列式的(i,j)元。
三阶行列式是指 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$
计算方程：(a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂)-(a₁₃a₂₂a₃₁+a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₁a₂₃a₃₂)
----------------主对角线---------------- ----------------副对角线----------------
可以简化为：a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂)+a₁₂(a₂₃a₃₁-a₂₁a₃₃)+a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁)
这种计算方程展开方式只能用于三阶及以下的行列式，也就是二、三阶的行列式。

二、全排列及其逆序数

全排列的定义
把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(也简称排列)。
逆序数的定义
  ①. 逆序
       设 i,j∈N ，且 i≠j ，若 i>j 称 (i,j) 为逆序。
  ②. 逆序数
       设i₁,i₂,...,i_n为1,2,...,n的一个排列，其所含的逆序个数总和称为该排列的逆序数，记为τ(i₁,i₂,...,i_n)。
  ③. 奇偶排列
       逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
       一个逆序数如果对调其中任意两数那么其的奇偶性就会发生改变。

三、n阶行列式的定义

定义
设：有n²个数，排成n行n列的数表
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n ，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，由于这样的排列共有n!个，
... ... ... ...
a_n1 a_n2 ... a_nn
所有这n!项的代数和 $\sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}$
为n阶行列式记作 $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ ，简称作 det(a_ij)，其中数a_ij为行列式D的(i,j)元。
n阶行列式D定义为
$D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} {(- 1)}^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} \cdot a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$
例题：
    例一：
     主对角线行列式
       $| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix} | = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$
       只有主对角线有值其余都为零，那么行列式的值为主对角线的乘积。
     副对角线行列式
       $| \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋱ \\ a_{n} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$
        $1 + 2 + 3 + . . . . + (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2}$ 这是一个等差数列。
    例二：
       $| \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} & a_{22} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋱ & ⋮ \\ a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{12} \dots a_{n n}$
        主对角线及其上三角、下三角行列式都等于主对角线的行列式结果。
        副对角线及其上三角、下三角行列式都等于副对角线的行列式结果。
行列式的性质
  ⑴行列式与它的转置行列式相等[转置行列式的意思就是行与列置换；行变列，列变行]。
       $| A^{T} | = | A |$
  ⑵互换(对调)行列式的两行(列)，行列式最终值变号(就是正负号)[也可以说变为相反数]。
  ⑶行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k(有公因子)，等于用数k乘以此行列式(则可提取到前面)。
      推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
      推论2 行列式某行(列)元素全为零，则行列式结果为零。
      推论3 行列式两行(或两列)元素相同则行列式为零。
      推论4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
  ⑷若行列式的某列(行)的元素都是两数之和，则行列式可拆成两个行列式之和。
       $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i} + a_{1 i}^{'} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} + a_{2 i}^{'} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i} + a_{n i}^{'} & \dots a_{n n} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i} & \dots a_{n n} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 i}^{'} & \dots a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 i}^{'} & \dots a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n i}^{'} & \dots a_{n n} \end{matrix} |$
  ⑸行列式某列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
    [行列式某行(列)的倍数加到另一行(列)，则行列式不变。]
    主对角线都为同一元素a，其余元素都相同b(非主对角线元素)的行列式，简化值为 $[a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}$
行列式按行(列)展开
  ⑴ 代数余子式的定义
    在n阶行列式中，把(i,j)元a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元a_ij的余子式，记作M_ij；而 $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ , A_ij叫做(i,j)元a_ij的代数余子式。
  ⑵ 行列式按行(列)展开方式
    ① 如果下标的行列加起来是偶数，那么任何元素的余子式和代数余子式都是相等的；
    ② 如果下标的行列加起来是奇数，那么任何元素的余子式和代数余子式都是相反的。
    ③ (i,j)元的值与代数余子式的值相乘，然后同一行的再相加，其值等于行列式的值。
    ④ 定理：任何行列式其某一行的元素与其代数余子式的值相乘，然后相加其值等于行列式的值。
      (③ 和 ④ 貌似是相同的一句话...只是说法不同。)
        按行： $a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = D (i = 1, 2, \dots, n)$
        按列： $a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} = D (j = 1, 2, \dots, n)$
    ⑤ 推论：如果某一行的元素与其他行的代数余子式的值相乘后相加其值等于零。
        按行： $a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n} = 0 (i \neq j)$
        按列： $a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{n i} A_{n j} = 0 (i \neq j)$
  ⑶ 例1. 用展开定理求行列式的值
        展开前某一行(列)中只保留一个数字其余都简化为0；然后再使用展开定理，这样做所需做的运算量会大大减少；
        如果用一二四行简化大概率会出现分数，而第三行各数是成倍数关系的，可以用来进行化简；
        第一列减去两倍的第三列，第四列加上第三列，第一列和第四列第三个数都能变成零；那么第三行只剩一个数，可以用a₃₃来进行展开或者说简化；
$这一步的结果为 | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & - 1 & 2 \\ - 11 & 1 & 3 & - 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & - 1 & 1 \\ - 11 & 1 & 3 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 5 & - 5 & 3 & 0 \end{matrix} | = 1 * (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} |$
        因为a₃₃ = 1 且 3+3=6 是偶数，所以最后a₃₃A₃₃结果为： $| \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} |$
        再次消除并展开，即可计算最终结果： $= | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 11 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 5 & 1 & 1 \\ - 6 & 2 & 0 \\ - 5 & - 5 & 0 \end{matrix} | = 1 * (- 1)^{1 + 3} = | \begin{matrix} - 6 & 2 \\ - 5 & - 5 \end{matrix} | = 40$

  ⑷ 例2. $D = | \begin{matrix} 3 & - 5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} |$ ，D的(i,j)元的余子式和代数余子式以此记作M_ij和A_ij，求 A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄ 及 M₁₁+M₂₁+M₃₁+M₄₁ 。
        A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄都是第一行，求第一行的代数余子式的和，可以将这一行元素都改变为代数余子式的系数，即：
         $D^{'} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & - 6 \\ - 1 & 4 & 5 & 4 \\ 2 & - 6 & - 3 & - 5 \end{matrix} |$
        将其与Aij元素简化掉后，这已经是第一行代数余子式和的数列了，然后求这四个代数余子式和的值。
$A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} = | \begin{matrix} 0 & - 1 & - 6 \\ 4 & 2 & 4 \\ - 6 & - 3 & - 5 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 4 & 2 & - 8 \\ - 6 & - 3 & 13 \end{matrix} | = - 1 * (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 4 & - 8 \\ - 6 & 13 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 4 & - 8 \\ - 6 & 13 \end{matrix} | = 4$
        先将余子式M_ij转化为代数余子式A_ij：
$M_{11} + M_{21} + M_{31} + M_{41} = (- 1)^{1 + 1} A_{11} + (- 1)^{2 + 1} A_{21} + (- 1)^{3 + 1} A_{31} + (- 1)^{4 + 1} A_{41} = A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41}$
        都是第一行，求第一行的代数余子式的和，可以将这一行元素都改变为代数余子式的系数，即：
$D^{'} = | \begin{matrix} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 & - 5 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ - 1 & - 4 & - 1 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 5 & 2 & 1 \\ 0 & - 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 8 & - 1 & 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 2 \end{matrix} |$
        以此可得如下计算：
$A_{11} - A_{21} + A_{31} - A_{41} = | \begin{matrix} - 4 & 2 & - 4 \\ 8 & - 1 & 2 \\ - 9 & 1 & - 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 14 & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | = 0$
        最后此例可得：
        A₁₁+A₁₂+A₁₃+A₁₄  =4
        M₁₁+M₂₁+M₃₁+M₄₁=0
  克拉默法则
    ⑴克拉默法则定义
        含有n个未知数x₁,x₂,x₃,...x_n的n个线性方程点的方程组 ${\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}, \\ \dots \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n}, \end{cases}$ ；与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示。
        如果线性方程组的系数行列式不等于零，即： $D = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | \neq 0$
        那么方程组有唯一解 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, . . ., x_{n} = \frac{D_{n}}{D}$ ，其中D_j(j=1,2,...,n)是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
         $D_{j} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1, j - 1} & b_{1} & a_{1, j + 1} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n, j - 1} & b_{n} & a_{n, j + 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$

      例1.
        解线性方程组： ${\begin{cases} 2 x_{1} + x_{2} - 5 x_{3} + x_{4} = 8 \\ x_{1} - 3 x_{2} - 6 x_{4} = 9 \\ 2 x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = - 5 \\ x_{1} + 4 x_{2} - 7 x_{3} + 6 x_{4} = 0 \end{cases}$
        将未知数前方的系数组合为一个行列式D，然后再用展开定理求出D的值：
$D = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 5 & 1 \\ 1 & - 3 & 0 & - 6 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 4 & - 7 & 6 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 7 & - 5 & 13 \\ 1 & - 3 & 0 & - 6 \\ 0 & 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = 1 (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 7 & - 5 & 13 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 7 & - 5 & 13 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 7 & - 7 & 12 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} - 3 & - 5 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 7 & - 7 & - 2 \end{matrix} | = - (- 1) (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} - 3 & 3 \\ - 7 & - 2 \end{matrix} | = 27$
        随后求出D₁，D₂，D₃，D₄的值，各值就是将对应列的元素替换为常数值，结果为：
$D_{1} = | \begin{matrix} 8 & 1 & - 5 & 1 \\ 9 & - 3 & 0 & - 6 \\ - 5 & 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 4 & - 7 & 6 \end{matrix} | = 81 ， D_{2} = | \begin{matrix} 2 & 8 & - 5 & 1 \\ 1 & 9 & 0 & - 6 \\ 0 & - 5 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & - 7 & 6 \end{matrix} | = - 108 ， D_{3} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 3 & 9 & - 6 \\ 0 & 2 & - 5 & 2 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end{matrix} | = - 27 ， D_{4} = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 5 & 8 \\ 1 & - 3 & 0 & 9 \\ 0 & 2 & - 1 & - 5 \\ 1 & 4 & - 7 & 0 \end{matrix} | = 27$
        最后求出x₁,x₂,x₃,x₄的结果为： $x_{1} = \frac{D_{1}}{D} = \frac{81}{27} = 3 ， x_{2} = \frac{D_{2}}{D} = \frac{- 108}{27} = - 4 ， x_{3} = \frac{D_{3}}{D} = \frac{- 27}{27} = - 1 ， x_{4} = \frac{D_{4}}{D} = \frac{27}{27} = 1 。$
    ⑵ 定理
        定理1 如果线性方程组的系数行列式D≠0，则线性方程组一定有解，且解是惟一的。
        定理2 如果齐次方程组的系数行列式D≠0，则齐次方程组只有零解。(等号后边全都是0的话就是齐次方程组。)
                  如果齐次方程组的系数行列式D=0，则齐次方程组有非零解。

       例2：
         问当 λ 取何值时，齐次方程组 ${\begin{cases} (5 - λ) x + 2 y + 2 z = 0 \\ 2 x + (6 - λ) y = 0 \\ 2 x + (4 - λ) z = 0 \end{cases}$ 有非零解。
         因为当齐次方程组行列式D≠0时，没有非零解；那么如果需要非零解就必须保证D=0。行列式如： $D = | \begin{matrix} 5 - λ & 2 & 2 \\ 2 & 6 - λ & 0 \\ 2 & 0 & 4 - λ \end{matrix} | = 0$
         因行列式无法拆解只能直接展开：
           (5-λ)(6-λ)(4-λ)+0+0-2*(6-λ)*2-2*2(4-λ)-0
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-2*(6-λ)*2-2*2(4-λ)
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(6-λ)-4(4-λ)
           =(5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(10-2λ)
           =(5-λ)[(6-λ)(4-λ)-8]
           =(5-λ)(λ²-10λ+16)
           =(5-λ)(λ-2)(λ-8)
        如上所见：只有当 λ 等于 2、5、8 时，D=0，此时才有非零解。

	⑴ 定义设A=(a_ij)是一个ms矩阵，B=(b_ij)是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=(c_ij)，其中 $c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i s} b_{s j} = \sum_{k = 1}^{s} a_{i k} b_{k j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 并把此乘积记作C=AB。
	⑵ 运算规律矩阵的乘法满足下列结合律和分配率(假设运算都是可行的)； ① (AB)C+A(BC) ② λ(AB)=(λA)B=A(λB) (其中λ为数) ③ A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA
	⑶ 例题 ① 求矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})$ 与 $B = (\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix})$ 的乘积 AB。 $A * B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 + 0 + 6 - 1 & 1 + 0 + 0 - 3 & 0 + 0 + 3 - 4 & ❶ \\ 8 - 1 + 0 + 2 & 2 + 1 + 0 + 6 & 0 + 3 + 0 + 8 & ❷ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 & - 2 & - 1 \\ 9 & 9 & 11 \end{matrix})$ ❶ A的第一行先乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。 ❷ A的第二行再乘以B的各列(行一列一,行二列二,…)，其值相加。可以简单的解释为，A的行乘以B的列并且相加，每个相加的和为C的一个元素。 ② 求矩阵 $A = (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ 与 $B = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix})$ 的乘积 AB及BA。 $A B = (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 * 2 + 4 * (- 3) & - 2 * 4 + 4 * (- 6) \\ 1 * 2 + (- 2) * (- 3) & 1 * 4 + (- 2) * (- 6) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 - 12 & - 8 - 24 \\ 2 + 6 & 4 + 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 16 & - 32 \\ 8 & 16 \end{matrix})$ $B A = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 3 & - 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 * (- 2) + 4 * 1 & 2 * 4 + 4 * (- 2) \\ (- 3) * (- 2) + (- 6) * 1 & (- 3) * 4 + (- 6) * (- 2) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 + 4 & 8 - 8 \\ 6 - 6 & - 12 + 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ 结论：AB 与 BA 不一定相等。
	⑷ 注意点 ① 矩阵下标第一个指行第二个指列。 ② 内标相同可乘(所谓的合法性)；如：A_mn B_ns n是相同的就可以相乘。 ③ 外标决定行列(左边矩阵的外标决定行，右边矩阵的外标决定列)；如：矩阵 A_mn * B_n*s = C_ms。
	⑸ 补充和结论 ① A≠〇，B≠〇 ≠> AB≠〇；矩阵A和矩阵B都不等于〇矩阵，不可推论出AB相乘不等于零矩阵。 ② A≠〇 ≠> A^k≠〇。 ③ AB ≠ BA 不一定相等。 ④ f(x)=a_nxⁿ+...+a₁x¹+a₀x⁰ 这是多项式，一元多项式； f(A) ≜ a_nAⁿ+…+a₁A+a₀E ，≜ 的意思是“定义为”，也可写作：:= ；这种多项式称为矩阵A的多项式。矩阵多项式可以像是普通多项式一样进行因式分解。 ⑤ f(x)=x²-3x+2 和 f(A)=A²-3A+2E 解题思路是一样的；f(A)=A²-3A+2E=(A-E)(A-2E) 。

	1.1 伴随矩阵设：矩阵A为 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ ，取行列式 $\| A \| = \| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} \|$ ，对元素 a_ij其余子式为M_ij，运算过程： ∀ a_ij => M_ij => A_ij=(-1)^i+jM_ij ，由任意元素a_ij可得出余子式M_ij，而由余子式M_ij可以求出代数余子式A_ij 。将\|A\|的第一行的代数余子式放在第一列，第二行的放在第二列，以此类推可得， $A^{} = \| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \dots & A_{n n} \end{matrix} \|$ ，为A的伴随矩阵。注解:AA^=A^A=\|A\|E。 $A A^{} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{n 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \| A \| & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \| A \| & \dots & 0 \\ ⋮ & \dots & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & \dots & \| A \| \end{matrix}) = \| A \| E$
	1.2 伴随矩阵的计算 A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按特定顺序排列后转置得到的。具体步骤如下： ❶ 计算代数余子式：对于矩阵A中的每一个元素a_ij（i,j=1,2,…,n），首先划去该元素所在的行和列，得到一个(n-1)阶的子矩阵，称为元素a_ij的余子式，记作M_ij。接着，给余子式M_ij带上符号(-1)^i+j，得到元素a_ij的代数余子式，记作A_ij=(-1)^i+jM_ij。 ❷ 构造伴随矩阵：创建一个新的n×n矩阵，称为A的伴随矩阵，记作adj(A)或A^*。在这个新矩阵中，第i行第j列的元素就是原矩阵A中第j行第i列的元素的代数余子式A_ji。 ❸ 转置矩阵：由于在构造伴随矩阵时，我们是将原矩阵A的代数余子式按特定顺序（即转置的顺序）排列的，因此得到的伴随矩阵实际上是原矩阵A的代数余子矩阵的转置矩阵。综上所述，A的伴随矩阵是通过计算A的每个元素的代数余子式，并将这些代数余子式按转置的顺序排列后得到的。
	1.3 ❶ 取某一行元素跟自己的(行数相等)代数余子式(对应元素)相乘最后相加等于行列式。 a_i1A_i1+a_i2A_i2+…a_inA_in=\|A\| ❷ 取某一行元素跟不同行的代数余子式(i≠j)相乘等于0。 a_i1A_j1+a_i2A_j2+…a_inA_jn=0
	1.4 矩阵可逆的充要条件设A为n阶矩阵，A是可逆矩阵的充分必要条件是\|A\|≠0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵. 且 A^-1=A^/\|A\|。 ① A_nn , \|kA\|=kⁿ\|A\| ② A_nn , B_nn , 则 \|AB\|=\|A\|*\|B\|
	例： $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & - 5 \end{matrix})$ ，A可逆否？当可逆，A^-1等于什么？解： $\| A \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & - 5 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & - 11 \end{matrix} \| = \| \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & - 19 \end{matrix} \| = - 19 \neq 0$ 所以A可逆。 ${\begin{cases} M_{11} = - 4, A_{11} = - 4 \\ M_{12} = - 17, A 12 = 17 \\ M_{13} = 1, A_{13} = 1 \end{cases} ， {\begin{cases} M_{21} = 3, A_{21} = - 3 \\ M_{22} = - 11, A_{22} = - 11 \\ M_{23} = 4, A_{23} = - 4 \end{cases} ， {\begin{cases} M_{31} = - 4, A_{31} = - 4 \\ M_{32} = 2, A_{32} = - 2 \\ M_{33} = 1, A_{33} = 1 \end{cases}$ $A^{} = (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 4 \\ 17 & - 11 & - 2 \\ 1 & - 4 & 1 \end{matrix})$ $A^{- 1} = \frac{1}{\| A \|} A^{} = - \frac{1}{19} (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 4 \\ 17 & - 11 & - 2 \\ 1 & - 4 & 1 \end{matrix})$

	一，分块矩阵的定义我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
	二，矩阵分块的背景矩阵运算及矩阵应用过程中，若矩阵阶数高，为便于计算，一般将矩阵进行分块。
	三，分块矩阵的性质 ⑴设A，B同型且分块法相同，且 $A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 r} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s r} \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{s 1} & B_{s 2} & \dots & B_{s r} \end{matrix}) ，$ 则： $A \pm B = (\begin{matrix} A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} & \dots & A_{1 r} \pm B_{1 r} \\ A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} & \dots & A_{2 r} \pm B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} \pm B_{s 1} & A_{s 2} \pm B_{s 2} & \dots & A_{s r} \pm B_{s r} \end{matrix})$ 。 ⑵ $设： A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 r} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s r} \end{matrix}) ，则： k A = (\begin{matrix} k A_{11} & k A_{12} & \dots & k A_{1 r} \\ k A_{21} & k A_{22} & \dots & k A_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k A_{s 1} & k A_{s 2} & \dots & k A_{s r} \end{matrix}) ；$ ⑶设：A为ml矩阵，B为lm矩阵，且 $A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s t} \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{t 1} & B_{t 2} & \dots & B_{t r} \end{matrix}) ，$ 其中A_i1,A_i2,...,A_it的列数与B_1j,B_2j,...,B_tj的行数相同，则 $C = A B = (\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 r} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{s 1} & C_{s 2} & \dots & C_{s r} \end{matrix}) ，$ 其中 $c_{i j} = \sum_{k = 1}^{t} a_{i k} b_{k j} (i = 1, 2, \dots, s; j = 1, 2, \dots, r)$ 。 ⑷ 设 $A = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{s} \end{matrix})$ 其中A₁,A₂,...,A_s为可逆矩阵，则 $A^{- 1} = (\begin{matrix} A_{1}^{- 1} \\ A_{2}^{- 1} \\ ⋱ \\ A_{s}^{- 1} \end{matrix})$ 。
	四，例题讲解 ⑴ 设 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{matrix}) 。$ 使用分块法求 AB。令： $A_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， A_{12} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 0 ， A_{21} = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}) ， A_{22} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， A = (\begin{matrix} E & 0 \\ A_{21} & E \end{matrix})$ $B_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) ， B_{12} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E ， B_{21} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{matrix}) ， B_{22} = (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix})$ $A * B = (\begin{matrix} E & 0 \\ A_{21} & E \end{matrix}) * (\begin{matrix} B_{11} & E \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} B_{11} & E \\ A_{21} * B_{11} + B_{21} & A_{21} + B_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 4 & 3 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 & 1 \end{matrix})$ 同型矩阵相加就是对应元素相加，同型矩阵相乘就是A行B列对应元素并相加。 ⑵ 设 $A = (\begin{matrix} 5 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix})$ ，使用分块法求A^-1。 $A_{1} = (\begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ， A_{2} = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ， A = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix})$ 因为 A₁=-1≠0，A₂=1≠0，所以 A₁和A₂可逆； $A^{- 1} = (\begin{matrix} A_{1}^{- 1} \\ A_{2}^{- 1} \end{matrix})$ 二阶行列式的伴随矩阵是主线对调，副线取反；那么逆阵就是伴随矩阵除以行列式的值。 $A_{1}^{- 1} = \frac{A_{1}^{}}{\| A_{1} \|} = - (\begin{matrix} 1 & - 3 \\ - 2 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 2 & - 5 \end{matrix})$ $A_{2}^{- 1} = \frac{A_{2}^{}}{\| A_{2} \|} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix})$ $A^{- 1} = (\begin{matrix} - 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 2 & 3 \end{matrix})$ ⑶证明矩阵A=〇的充分必要条件是方阵A^TA=〇。必要性因为：A=〇，所以：A^TA=〇〇=〇；充分性 A_mn=[λ_1,λ_2,...,λ_n] ； $A^{T} * A = [\begin{matrix} λ_{1}^{T} \\ λ_{2}^{T} \\ ⋮ \\ λ_{n}^{T} \end{matrix}] * [\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & \dots & λ_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ_{1}^{T} λ_{1} & λ_{1}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{1}^{T} λ_{n} \\ λ_{2}^{T} λ_{1} & λ_{2}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{2}^{T} λ_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ λ_{n}^{T} λ_{1} & λ_{n}^{T} λ_{2} & \dots & λ_{n}^{T} λ_{n} \end{matrix}] = 〇$ 因为〇的所有元素都是0，所以 λ_n^T *λ_n = 0 。